これからは４枚出しの時代だ！～４枚７桁のすゝめ～

この記事は、素数大富豪 Advent Calendar 2017 - Adventar 4日目の記事です。

昨日はキグロさんによる素数大富豪小説が誕生するまで:呟きの補集合 - ブロマガでした。これは読むしかない...！

素数大富豪MathPower杯で突然優勝してしまいました、もりしーと申します。

本日は、私の好きな４枚出しの中でも特に好きな、４枚７桁（と４枚８桁）について、確率論的な考え方と戦法に関することを交えて語っていきます。

なお、この記事は、11月17日の記事

prm9973.hatenablog.com

の後編も兼ねております。併せて参照いただければと思います。

そもそも４枚出しは難易度が高い！

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素数大富豪 wiki *1によると、１枚出し素数6個、２枚出し38個、３枚出し338個と、ここまでなら数字が好きかつ暗記が得意な人なら覚えられなくはない範囲でしょう。しかし４枚出しはなんと3330個です。かなり無理があります。つまり、各々が覚えやすい覚え方でレパートリーを増やしていくしかないということになります。現に、偶数消費型、数列、語呂合わせ、四つ子素数など様々な覚え方は研究されていますが、４枚出しを完璧にマスターしている素数大富豪プレイヤーが存在しうる可能性は非常に低いと考えます*2。もちろん私もマスターには程遠いです。

逆に言えば、４枚出しを中心に効果的な戦略を組み立て、ある程度勝ちパターンをつかんでしまえば、現状の素数大富豪ではかなり強くなれるのではないかという仮説が立てられるわけです。

４枚７桁を推す理由

ＣＰＵ対戦で素数大富豪を始めてしばらくした頃に、４枚７桁以上を出すとそれ未満に比べてかなり高確率で手番が取れるような気がしていました。これが私の４枚７桁研究の発端です。４枚８桁は言わずもがな強いのですが、絵札*3を４枚も消費する必要があり、高コストです。７桁も絵札３枚と、コストは決して低くありませんが、コスト対効果で優れているような気がしたのです。 ${}n$ 枚出しにおいて（特に ${}n=3, 4$ のとき）、 ${}n$ 枚 ${}2n-1$ 桁は総合的に強いと考えました。（ただし５枚出し以上の場合、絵札を必ず４枚以上消費するのでコストの上昇が著しくなります）

あくまで感覚的な理由ですが、これを確率論的な証明に近づけたいと考えたのが、この記事を書くことに決めたきっかけです。

持ち札における１桁／絵札の割合

素数大富豪では、54枚のトランプのうち11枚が１人のプレイヤーに配られます。Ａから９を１桁カード、10、Ｊ、Ｑ、Ｋおよびジョーカーを絵札カードとすると、トランプの54枚は１桁カード36枚、絵札カード18枚に分かれます。初期手札において、１桁と絵札それぞれのカード配分の確率分布を示したのが表１です。*4

表１　素数大富豪の初期手札の１桁／絵札構成比の確率分布

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一番確率が高いのが７枚／４枚で、ほぼ同率で続くのが８枚／３枚です。11枚の手札が配られたとき、約50％はこの２パターンになることがわかります。

また、すべて１桁カードになる確率はかなり低いことと、絵札が６枚、７枚来ることが案外珍しくないのにはやや驚きました。

４枚７桁最大素数9131011はどれくらい強い？

・自分の手札は１桁８枚／絵札３枚で、９、10、Ｊ、Ｋが含まれている

・ドローが行われない

・合成数出しが行われない

・革命が起こらない

以上を条件Ａとし、この条件下で試合が進行していたとします。この場合、相手の手札の１枚／絵札構成比の確率分布は表２のようになります。*5

表２　条件Ａ下における、相手の初期手札の１枚／絵札構成比の確率分布

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自分の手札が絵札３枚（標準やや少なめ）なので、相手に回る手札は表１よりも若干有利になります。

この試合中に、自分が9131011を勝負手（これで手番を取れれば勝ち確な手）として出した場合を考えます。相手の手札について場合分けをしましょう。

(1) 相手の絵札が３枚以内の場合

相手は多くても３枚の絵札しか持っていないので、9131011以上の素数を持ち札で作ることは不可能です。よって、表２の11枚／０枚から８枚／３枚までを足して、この時点で少なくとも40.99％の確率で上がることができます。

(2) 相手の絵札が４枚の場合

次に、相手に絵札が４枚ある場合を考えます。絵札が４枚あったとしても、４枚８桁が作れない場合は多々ある（10、10、Ｑ、Ｑのときなど）ため、４枚８桁を作れる場合の数を考えます。

４枚８桁がつくれる絵札は以下のパターンに分けられます。

※10→Ｔ、ジョーカー→Ｘとします。

${}K T Q J$ のように、ジョーカー以外の数字４種類が１つずつある場合（1通り）

${}K J Q J$ のように、数字３種類でどれか１種類がダブっている場合（3通り）

${}Q Q Q J$ のように、数字２種類で片方が３個ある場合（2通り）

${}K J Q X$ のように、数字３種類とジョーカーの場合（4通り）

${}K J X J$ のように、数字２種類とジョーカー１枚の場合（6通り）

${}K J X X$ のように、数字２種類とジョーカー２枚の場合（6通り）

${}K X X K$ のように、数字１種類とジョーカー２枚の場合（3通り）

${}Q Q Q X$ のように、数字１種類とジョーカー１枚の場合（2通り）

以上、計27通りについて場合の数を調べ、それを全事象で割るという方法で、４枚８桁を作れる確率を求めました。

細かい計算は割愛しますが、14.72%という数字が出てきました。

よって、絵札が４枚の28.10%のうちの85.28%、つまり23.96%は４枚８桁が作れないということになります。

ここまでで、9131011に返されない確率は、40.99%+23.96%=64.95%となりました。

(3) 相手の絵札が５枚の場合

続いて５枚です。絵札が５枚にもなってくると、４枚８桁が作れる可能性のほうが高くなりそうだなという推測から、４枚８桁を作れない組み合わせを考えました。

長くなるのですべて省略しますが、2.65%という数字が出ました。

よって、絵札が５枚の19.67%のうちの2.65%、つまり0.52%は４枚８桁が作れないということです。（想像以上に少なかったので見逃しないかな...？）

ここまでで9131011に返されない確率は、64.95%+0.52%=65.47%です。

ここで厳密には絵札６枚以上の場合も検証する必要がありますが、絵札５枚の時点で確率の増加がほとんどなくなったことや、そもそも絵札６枚以上になる確率が低いので、そうなったら相手の手札が良すぎるから100％返されてしまうものとして考えてしまいましょう！ここは大雑把に！！

以上、(1)～(3)より、上述の前提条件下において9131011を勝負手として出した場合、相手が計算万能なＣＰＵだとしても、少なくとも65%の確率で上がれることになります。

70%の大台に乗らなかったので若干地味になってしまいましたが*6、ソフト〇ンクと同じくらいは強いのです。*7

なお、条件Ａが、「（絵札枚数的に）9131011を出せる中で最も不利な条件」で65%なので、仮に自分の手札に条件Ａよりも絵札が１枚多くあるだけで、上がれる確率はおおよそ72%以上になります。*8

４枚出し戦法について

さて、ここからは、４枚７桁の実践での使い方を例を挙げて述べていきます。

基本パターンは、自分が先手の場合に有効です。11枚の手札を、

受け手（相手に出させる手札）：４枚

勝負手（相手を抑える手札）：４枚

上がり手（残りの手札）：３枚

の３つに分けます。

例１：１４４６６７８８ＴＪＱ

奇数３枚、絵札３枚とだいぶ厳しめです。手札を分けて素数を組んでみましょう。

受け手：８６４１・・・「はむしい」と呼ばれるあれです。

勝負手：８ＱＴＪ・・・偶数消費型の４枚７桁。使い勝手が非常に良い。

上がり手：６４７

最低でも奇数カードが３枚あればこの戦法をとれます。この手札であっても、先手であれば、ＣＰＵに６割以上の確率で勝てるでしょう。

例２：１１２４５６９ＴＱＱＫ

受け手：４５６１

勝負手：９ＱＱＫ

上がり手：Ｔ２１

絵札４枚ですが、４枚８桁を作れない組み合わせなので９ＱＱＫを作ります。絵札に余裕がある場合は、なるべく上がり手の方に残しておいた方が、返されたときに対処しやすくなるのでよいと思います。

例３：２２４８９ＴＴＪＪＱＫ

受け手：８ＴＴ９

勝負手：ＫＪＱＪ

上がり手：４＝２＾２

リッチな手札です。４枚８桁最強が作れるのでそれを基準に組んでいます。受け手の時点で６桁！

４枚出し戦法のここがいい！

・絵札が３枚あれば十分実用に値する

・７桁以上で、かなり強い勝負手になりうる

・偶数が多くても大丈夫

・先攻でかつ素数を組みきれた場合かなり有利

４枚出し戦法のここがダメ！

・後攻の場合、先攻時の強さに比べてかなり不利

・それなりに素数を覚えていたとしても、初期手札だけで素数を組みきるのは案外難しい

・勝負手に返された場合勝つのが難しい

以上をみればわかる通り、ややハイリスクハイリターンな戦法とはなりますので、現状、初心者にはあまりおすすめできません。ただ、慣れれば強いはずですので、有志の方は４枚出しに是非とも挑戦してもらいたいですね。

私は今まで試合をする際に、

「勝負手を出す場合、相手がそれに返せる手札を持っている（あるいはそのような素数を知っている）確率がどれくらいあるか」

を意識していました。相手の実力と、その時その時の手札や場の様子を鑑みて、自分の出す手を決めています。特に対人戦の場合は試合を決定づける要素があまりにも複雑で、数値で表すことの難しい事象ではありますが、今回の検証で得られた「9131011は65%上がれる」という数値は、その一つの側面を表す指標になるのではないかと考えます。これを土台に、４枚出しの議論がさらに深まれば幸いですね。

最後に、愉快な４枚７桁（百万の位が2以上）と４枚８桁の仲間たちを紹介します。覚えたい人や好きな素数見つけたい人はぜひ！*9